segunda-feira, 6 de janeiro de 2020
Progressão Aritmética
1 - Introdução
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <>
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 <>
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n <> 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <>
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 <>
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n <> 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
Números Naturais
Operações entre Números Naturais
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Operações entre Números Naturais - Exercícios Propostos
01) A soma de dois números é 57, se um deles é o dobro do outro. Calcule cada um deles.
02) A soma de dois números é 78, um deles é o quíntuplo do outro. Quais são esses números ?
03) A soma de dois números é 79; o maior é o triplo do menor, mais 7. Quais são esses números ?
04) A soma dos três termos de uma adição é 340. Calcule-os, sabendo que uma parcela é o quádruplo da outra .
05) Temos juntos a quantia de R$ 135,00, quanto eu tenho, se tenho a metade do que tu tens ?
06) Numa turma de 56 alunos, o número de meninos é a terça parte do número de meninas. Quantos são os meninos e as meninas
dessa turma ?
07) Quando dividimos dois números encontramos exatamente o quociente 5, e quando os somamos encontramos 72. O maior
desses números é ?
08) A soma de dois números é 432 e o quociente exato entre eles é 17. Quais são esses números ?
09) A soma de dois números é o quíntuplo do menor deles, Com isso podemos afirma que o maior número é
o ................................................. do menor número .
10) Numa adição de sete parcelas, às parcelas de ordem ímpar eu adiciono 6 unidades e às parcelas de ordem par eu subtraio 9
unidades. Que alteração sofrerá o total dessa adição ?
11) A soma de três números é 50; o primeiro é igual ao segundo, mais 6 e este é igual ao terceiro mais 4. Quais são esses números ?
12) Um número é composto de três algarismos, cuja soma é 12. O algarismo das unidades é o triplo do algarismo das centenas e o das
dezenas é igual a diferença entre o algarismo das unidades e o das centenas. Qual é esse número ?
13) Numa subtração o resto é 18 e o minuendo é o triplo do subtraendo. Calcule o menor dos termos dessa subtração
14) A diferença entre dois números é 24. Se um deles é a quarta parte do outro. Calcule cada um desses números .
15) Numa subtração o minuendo é o quádruplo do resto. Calcule esse resto sabendo que o subtraendo é 75
16) A soma dos três termos de uma subtração é 38. Calcule o minuendo dessa subtração.
17) A soma dos três termos de uma subtração é 96. Calcule cada um desses termos sabendo que o minuendo é o triplo do subtraendo.
18) Numa subtração a diferença é 43. Se somarmos 13 unidades do minuendo e 9 unidades do subtraendo, qual será o novo resto ?
19) Numa subtração a diferença é 96. Se somarmos 24 unidades do minuendo e subtrairmos 18 unidades do subtraendo, qual será o
novo resto ?
20) Numa subtração a diferença é 31. Se subtrairmos 14 unidades do minuendo e 5 unidades do subtraendo, qual será o novo resto ?
21) A soma de dois números é 47 e a sua diferença é 9. Calcule os números .
22) Calcular dois números cuja soma é 129 e cuja diferença é 55.
23) Calcule dois números cuja diferença é 90 e cujo quociente exato é 11 ?
24) O quociente de dois números é 8. Calcule-os sabendo que a diferença entre eles é 84 .
25) Eu sou 26 anos mais velho que minha filha. Qual é a minha idade se tenho o triplo da idade de minha filha ?
26) Quando eu nasci meu pai tinha 24 anos. Quantos anos tenho se hoje a minha idade é a quarta parte da idade de meu pai ?
27) Um pai tem 48 anos e seu filho 22. Há quantos anos atrás a idade do pai era o triplo da idade do filho ?
28) Uma pessoa tem 58 anos e outra, 10 anos. Daqui a quantos anos será a idade da mais velha o quádruplo da idade da mais nova ?
29) Quando eu nasci minha mãe tinha 20 anos. Quando aconteceu ou acontecerá da idade de minha mãe ser o dobro da minha idade,
se tenho 17 anos ?
30) Duas pessoas têm, respectivamente, 27 e 61 anos. Há quantos anos a idade de uma foi o triplo da idade da outra ?
31) Tia Marlene tem 64 anos e seus 3 sobrinhos têm respectivamente 18, 17 e 15 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos
sobrinhos se igualará à idade de sua tia
32) As idades de dois irmãos somam 31 anos, calcule a idade de cada um deles sabendo que um é 5 anos mais velho que o outro.
33) Um livro tem 350 páginas. Uma pessoa já leu 10 páginas mais do que outra e tem, ainda, 30 páginas a ler para completar a leitura
do livro. Quantas páginas cada pessoa já leu ?
34) Carla e Cíntia possuíam quantias iguais. Carla gastou R$ 30,00 e Cíntia gastou R$ 90,00, com isso, Cíntia possui agora o dobro do
que possui Carla. Quantos possui cada uma originalmente ?
35) Um número é o triplo de um outro acrescido de 19 unidades. Calcule o menor deles sabendo que sua soma é 75
36) Duas pessoas têm juntas R$ 210,00 . Se retirarmos R$ 25,00 de uma delas e acrescentarmos a outra, ambas ficam com a mesma
quantia. Qual era, originalmente, as quantias de cada uma delas ?
37) Um pai combina com seu filho que pagaria R$ 7,00 por questão que ele acertasse e receberia dele R$ 4,00 por questão que errasse.
Se a prova constava de 25 questões, quantas delas ele precisou acertar para receber R$ 32,00 ?
38) Um atirador receberia R$ 12,00 por tiros que acertasse no alvo e pagaria R$ 7,00 por tiro perdido. Se em 30 tiros recebeu R$ 189,00,
quantas vezes ele acertou o alvo ?
39) Uma pessoa para pagar uma compra de R$ 6,50 , deu 17 moedas, sendo umas de 25 centavos e outras de 50 centavos. Quantas
moedas de 25 centavos e de 50 centavos utilizou para pagar essa compra ?
40 ) Um profissional foi contratado para executar determinado serviço, receberia R$ 35,00 por dia de trabalho e pagaria R$ 6,00 de
multa por cada dia que faltasse. Se ao fim de 30 dias recebeu R$ 722,00. Quantos dias compareceu ao trabalho ?
41) Ao multiplicarmos um número de 7 algarismos por um outro de 3 algarismos, o produto entre eles terá no máximo ............
algarismos e no mínimo ....... algarismos.
42) O produto de dois números é 1.170. somando-se 6 ao multiplicador, o produto passa a ser 1.560. Calcule o maior desses números.
43) O produto de dois números é 792. diminuindo-se 12 ao multiplicando, o produto passa a ser 396. Calcule o maior desses números.
44) Por quanto devo multiplicar 87 para aumentá-lo de 1740?
45) Numa divisão, o divisor é 13 o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo .
46) Numa divisão inexata, o divisor é 23, o quociente é 11 e o resto é o menor possível. Calcule o dividendo .
47) Qual é o menor valor do dividendo de uma divisão cujo quociente é 15 e o resto é 8 ?
48) Numa divisão o divisor é 45 e o resto é 20. Qual o maior número que podemos adicionar ao dividendo sem que o quociente se
altere ?
49) Quantos são os números que divididos por 38 dão o quociente 16 ?
50) Reparta R$ 345,00 entre três amigos de tal maneira que Pedro receba R$ 45,00 a mais que José, e que Paulo receba R$ 39,00 a
mais que Pedro .
51) 14 jovens entre moças e rapazes resolveram dançar numa boate, no qual gastaram R$ 448,00. Como os rapazes combinaram
ratear entre eles a despesa, a parte de cada um ficou aumentada em R$ 24,00. Quantas eram as moças no grupo ?
52) Em 3 caixas há um total de 542 bolinhas de gude. Na caixa 2 existem 36 bolas a mais que na caixa 1, e na caixa 3 existem 27
bolas a mais que na caixa 2. Quantas bolinhas existem em cada um das caixas ?
53) Um vendedor precisou permanecer um certo tempo numa cidade. Verificou que se gastasse R$ 30,00 por dia poderia permanecer
na cidade 5 dias a mais do que se gastasse R$ 40,00 diariamente. Quanto o vendedor possuía?
54) Leonardo comprou caneta a R$ 1,20 e caderno a R$ 1,80 cada unidade. Pagou pelas canetas tanto quanto pelos cadernos.
Sabendo que comprou 2 canetas a mais que cadernos, pergunta-se : Quantas caneta comprou ?
55) Um atacadista acondicionou sua produção de laranjas em caixas de 5 dúzias. Se tivesse acondicionado em caixas de 8 dúzias
teria economizado 15 caixas. Quantas eram as laranjas ?
56) Um professor resolve distribuir selos entre seus alunos. Se der 18 a cada um, lhe sobram 33 selos, se, no entanto, der 24 selos a
cadaum lhe faltam 27 selos. Quantos são os alunos e quantos são os selos a serem distribuídos ?
57) Dois trens partem, no mesmo instante, e em sentidos opostos, de duas cidades A e B, com velocidades constantes e
respectivamente iguais a 72 km/h e 60 km/h. Sabendo que a distância entre as duas cidade é de 528 km, pergunta-se em quanto tempo
e a que distância de A os trens se encontrarão?
58) A quantia de R$ 296,00 foi dividida entre quatro pessoas; a primeira recebeu tantas notas de R$ 20,00, como a segunda recebeu
de R$ 10,00, como a terceira de R$ 5,00 e a quarta de R$ 2,00. Quantas notas recebeu cada pessoa ?
59) ( CPCAR 2001 ) Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou desse caixa a
importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a :
a) 16 b) 25 c) 24 d) 21
60) ( CEFETQ 1992 ) - O quociente de uma divisão é 5 e o resto 700. A diferença entre o dividendo e o divisor é 6 200. Calcule o
dividendo.
61) ( CEFETQ 1993 ) - Numa eleição com dois candidatos, votaram 205.000 pessoas. O candidato eleito obteve 20.000 votos a mais
do que o seu concorrente. Foram registrados 41.000 votos nulos. Calcule o número de votos do candidato vencedor, sabendo que
não houve votos em branco nem abstenções .
62) ( CEFETQ 1995 ) - Na sucessão das letras :ETFQRJETFQRJETFQRJ....., qual é a letra que ocupa a 1995ª posição ?
63) ( Colégio Naval ) - Um número é composto de três algarismos cuja soma é 18. O algarismos das unidades é o dobro do das
centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e das centenas. Qual o número
64) (Colégio Naval ) - Um aluno ao multiplicar um número por 60, esqueceu-se de colocar o zero a direita e obteve um resultado
inferior 291.006 ao que deveria ter encontrado. Calcular o número .
65) Imagine os números inteiros não negativos dispostos da seguinte forma, de acordo com a tabela abaixo :
0 3 6 9 12 15 (....)
1 4 7 10 13 16 (....)
2 5 8 11 14 17 (....)
Em que linha e coluna, respectivamente, se encontra o número 1645 ?
a) 3 e 548 b) 2 e 548 c) 2 e 549 d) 3 e 549
66) Maria é 7 anos mais velha do que Paulo, que tem 2 anos mais do que Pedro. Qual será a idade de Maria, quando a soma das
idades de Pedro e Paulo for igual a 36 anos ?
a) 26 anos b) 22 anos c) 21 anos d) 18 anos e) 16 anos
67) Comprei 7 frangos e 5 galinhas por R$ 106,00. Se tivesse comprado 9 frangos e 5 galinhas teria gasto R$ 122,00. Quanto
custou cada galinha ?
a) R$ 7,50 b) R$ 8,00 c) R$ 9,20 d) R$ 10,00 e) R$ 12,00
68) O peso total de 3 caixas cheias de bombons é 60 kg. As caixas vazias pesam: a primeira e a segunda 7 kg; a primeira e a
terceira 10 kg; a segunda e a terceira 11 kg. Calcule o peso dos bombons das três caixas ?
a) 66 kg b) 56 kg c) 46 kg d) 106 kg e) 86 kg
69) Você é o caixa de uma loja. No momento, você só tem notas de R$ 50,00 e R$ 100,00 . Uma pessoa está pagando uma conta
de R$ 82,00 com uma nota de R$ 100,00. Quanto você ainda deve pedir a ela para que o troco seja de R$ 50,00
70) Na adição abaixo, A , B e C são três algarismos. Descubra as parcelas e a soma.
B 3
+ 5 B
A C 2
71) Na adição abaixo, A e B são dois algarismos. Descubra as parcelas e a soma.
A B
+ 2 B
1 2 2
72) Nessa subtração, descubra os valores dos algarismos A, B e C.
4 A B
- C 4 9
C C 4
Respostas dos Exercícios Propostos
01 19 e 38 02 13 e 65 03 18 e 61
04 34 e 136 05 R$ 45,00 06 42 meninas e 14 meninos
07 60 08 24 e 408 09 22, 16 e 12
10 246 11 63 12 quádruplo
13 9 14 8 e 32 15 25
16 19 17 72 - 24 = 48 18 47
19 138 20 22 21 28 e 19
22 92 e 37 23 99 e 9 24 96 e 12
25 39 anos 26 8 anos 27 Há 9 anos atrás
28 Daqui a 6 anos 29 Daqui a 3 anos 30 Há 10 anos atrás
31 Daqui a 7 anos 32 13 e 18 anos 33 310 e 320
34 R$ 150,00 35 14 36 R$ 80,00 e R$ 130,00
37 12 questões 38 21 vezes 39 8 e 9
40 21 vezes 41 máx - 10 algs e mínimo de 9 algs 42 65
43 33 44 21 45 97
46 254 47 143 48 24
49 38 50 Pe - 117, Pa - 156 e Jo - 72 51 6 moças
52 Cx 1 - 147, Cx 2 - 183 e Cx 3 - 212 53 R$ 600,00 54 6 canetas
55 2 400 laranjas 56 10 alunos e 213 selos 57 4 h e 288 km
58 8 notas cada uma delas 59 d) 21 60 7 575
61 92.000 votos 62 Letra F 63 396
64 5 389 65 c) 2 e 549 66 26 anos
67 R$ 10,00 68 46 kg 69 R$ 32,00
70 A = 1 , B = 9 e C = 5 71 A = 9 e B = 6 72 A = 7 , B = 3 e C = 2
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PLANEJAMENTO ANUAL 20 20 Professor(a): Antonio Carlos Barroso Turma: 6º ano do Ensino ...
