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sábado, 29 de junho de 2019

Progressão Aritmética

1 - Introdução
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <>
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 <>
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n <> 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(121, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60que é a resposta do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Números Naturais

Operações entre Números Naturais

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        
        



Operações entre Números Naturais - Exercícios Propostos


01) A soma de dois números é 57, se um deles é o dobro do outro. Calcule cada um deles.

02) A soma de dois números é 78, um deles é o quíntuplo do outro. Quais são esses números ?

03) A soma de dois números é 79; o maior é o triplo do menor, mais 7. Quais são esses números ?

04) A soma dos três termos de uma adição é 340. Calcule-os, sabendo que uma parcela é o quádruplo da outra .

05) Temos juntos a quantia de R$ 135,00, quanto eu tenho, se tenho a metade do que tu tens ?

06) Numa turma de 56 alunos, o número de meninos é a terça parte do número de meninas. Quantos são os meninos e as meninas
dessa turma ?

07) Quando dividimos dois números encontramos exatamente o quociente 5, e quando os somamos encontramos 72. O maior
desses números é ?

08) A soma de dois números é 432 e o quociente exato entre eles é 17. Quais são esses números ?

09) A soma de dois números é o quíntuplo do menor deles, Com isso podemos afirma que o maior número é
o ................................................. do menor número .

10) Numa adição de sete parcelas, às parcelas de ordem ímpar eu adiciono 6 unidades e às parcelas de ordem par eu subtraio 9
unidades. Que alteração sofrerá o total dessa adição ?

11) A soma de três números é 50; o primeiro é igual ao segundo, mais 6 e este é igual ao terceiro mais 4. Quais são esses números ?

12) Um número é composto de três algarismos, cuja soma é 12. O algarismo das unidades é o triplo do algarismo das centenas e o das
dezenas é igual a diferença entre o algarismo das unidades e o das centenas. Qual é esse número ?

13) Numa subtração o resto é 18 e o minuendo é o triplo do subtraendo. Calcule o menor dos termos dessa subtração

14) A diferença entre dois números é 24. Se um deles é a quarta parte do outro. Calcule cada um desses números .

15) Numa subtração o minuendo é o quádruplo do resto. Calcule esse resto sabendo que o subtraendo é 75

16) A soma dos três termos de uma subtração é 38. Calcule o minuendo dessa subtração.

17) A soma dos três termos de uma subtração é 96. Calcule cada um desses termos sabendo que o minuendo é o triplo do subtraendo.

18) Numa subtração a diferença é 43. Se somarmos 13 unidades do minuendo e 9 unidades do subtraendo, qual será o novo resto ?

19) Numa subtração a diferença é 96. Se somarmos 24 unidades do minuendo e subtrairmos 18 unidades do subtraendo, qual será o
novo resto ?

20) Numa subtração a diferença é 31. Se subtrairmos 14 unidades do minuendo e 5 unidades do subtraendo, qual será o novo resto ?

21) A soma de dois números é 47 e a sua diferença é 9. Calcule os números .

22) Calcular dois números cuja soma é 129 e cuja diferença é 55.

23) Calcule dois números cuja diferença é 90 e cujo quociente exato é 11 ?

24) O quociente de dois números é 8. Calcule-os sabendo que a diferença entre eles é 84 .

25) Eu sou 26 anos mais velho que minha filha. Qual é a minha idade se tenho o triplo da idade de minha filha ?

26) Quando eu nasci meu pai tinha 24 anos. Quantos anos tenho se hoje a minha idade é a quarta parte da idade de meu pai ?

27) Um pai tem 48 anos e seu filho 22. Há quantos anos atrás a idade do pai era o triplo da idade do filho ?

28) Uma pessoa tem 58 anos e outra, 10 anos. Daqui a quantos anos será a idade da mais velha o quádruplo da idade da mais nova ?

29) Quando eu nasci minha mãe tinha 20 anos. Quando aconteceu ou acontecerá da idade de minha mãe ser o dobro da minha idade,
se tenho 17 anos ?

30) Duas pessoas têm, respectivamente, 27 e 61 anos. Há quantos anos a idade de uma foi o triplo da idade da outra ?

31) Tia Marlene tem 64 anos e seus 3 sobrinhos têm respectivamente 18, 17 e 15 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos
sobrinhos se igualará à idade de sua tia

32) As idades de dois irmãos somam 31 anos, calcule a idade de cada um deles sabendo que um é 5 anos mais velho que o outro.

33) Um livro tem 350 páginas. Uma pessoa já leu 10 páginas mais do que outra e tem, ainda, 30 páginas a ler para completar a leitura
do livro. Quantas páginas cada pessoa já leu ?

34) Carla e Cíntia possuíam quantias iguais. Carla gastou R$ 30,00 e Cíntia gastou R$ 90,00, com isso, Cíntia possui agora o dobro do
que possui Carla. Quantos possui cada uma originalmente ?

35) Um número é o triplo de um outro acrescido de 19 unidades. Calcule o menor deles sabendo que sua soma é 75

36) Duas pessoas têm juntas R$ 210,00 . Se retirarmos R$ 25,00 de uma delas e acrescentarmos a outra, ambas ficam com a mesma
quantia. Qual era, originalmente, as quantias de cada uma delas ?

37) Um pai combina com seu filho que pagaria R$ 7,00 por questão que ele acertasse e receberia dele R$ 4,00 por questão que errasse.
Se a prova constava de 25 questões, quantas delas ele precisou acertar para receber R$ 32,00 ?

38) Um atirador receberia R$ 12,00 por tiros que acertasse no alvo e pagaria R$ 7,00 por tiro perdido. Se em 30 tiros recebeu R$ 189,00,
quantas vezes ele acertou o alvo ?

39) Uma pessoa para pagar uma compra de R$ 6,50 , deu 17 moedas, sendo umas de 25 centavos e outras de 50 centavos. Quantas
moedas de 25 centavos e de 50 centavos utilizou para pagar essa compra ?

40 ) Um profissional foi contratado para executar determinado serviço, receberia R$ 35,00 por dia de trabalho e pagaria R$ 6,00 de
multa por cada dia que faltasse. Se ao fim de 30 dias recebeu R$ 722,00. Quantos dias compareceu ao trabalho ?

41) Ao multiplicarmos um número de 7 algarismos por um outro de 3 algarismos, o produto entre eles terá no máximo ............
algarismos e no mínimo ....... algarismos.

42) O produto de dois números é 1.170. somando-se 6 ao multiplicador, o produto passa a ser 1.560. Calcule o maior desses números.

43) O produto de dois números é 792. diminuindo-se 12 ao multiplicando, o produto passa a ser 396. Calcule o maior desses números.

44) Por quanto devo multiplicar 87 para aumentá-lo de 1740?

45) Numa divisão, o divisor é 13 o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo .

46) Numa divisão inexata, o divisor é 23, o quociente é 11 e o resto é o menor possível. Calcule o dividendo .

47) Qual é o menor valor do dividendo de uma divisão cujo quociente é 15 e o resto é 8 ?

48) Numa divisão o divisor é 45 e o resto é 20. Qual o maior número que podemos adicionar ao dividendo sem que o quociente se
altere ?

49) Quantos são os números que divididos por 38 dão o quociente 16 ?

50) Reparta R$ 345,00 entre três amigos de tal maneira que Pedro receba R$ 45,00 a mais que José, e que Paulo receba R$ 39,00 a
mais que Pedro .

51) 14 jovens entre moças e rapazes resolveram dançar numa boate, no qual gastaram R$ 448,00. Como os rapazes combinaram
ratear entre eles a despesa, a parte de cada um ficou aumentada em R$ 24,00. Quantas eram as moças no grupo ?

52) Em 3 caixas há um total de 542 bolinhas de gude. Na caixa 2 existem 36 bolas a mais que na caixa 1, e na caixa 3 existem 27
bolas a mais que na caixa 2. Quantas bolinhas existem em cada um das caixas ?

53) Um vendedor precisou permanecer um certo tempo numa cidade. Verificou que se gastasse R$ 30,00 por dia poderia permanecer
na cidade 5 dias a mais do que se gastasse R$ 40,00 diariamente. Quanto o vendedor possuía?

54) Leonardo comprou caneta a R$ 1,20 e caderno a R$ 1,80 cada unidade. Pagou pelas canetas tanto quanto pelos cadernos.
Sabendo que comprou 2 canetas a mais que cadernos, pergunta-se : Quantas caneta comprou ?

55) Um atacadista acondicionou sua produção de laranjas em caixas de 5 dúzias. Se tivesse acondicionado em caixas de 8 dúzias
teria economizado 15 caixas. Quantas eram as laranjas ?

56) Um professor resolve distribuir selos entre seus alunos. Se der 18 a cada um, lhe sobram 33 selos, se, no entanto, der 24 selos a
cadaum lhe faltam 27 selos. Quantos são os alunos e quantos são os selos a serem distribuídos ?

57) Dois trens partem, no mesmo instante, e em sentidos opostos, de duas cidades A e B, com velocidades constantes e
respectivamente iguais a 72 km/h e 60 km/h. Sabendo que a distância entre as duas cidade é de 528 km, pergunta-se em quanto tempo
e a que distância de A os trens se encontrarão?

58) A quantia de R$ 296,00 foi dividida entre quatro pessoas; a primeira recebeu tantas notas de R$ 20,00, como a segunda recebeu
de R$ 10,00, como a terceira de R$ 5,00 e a quarta de R$ 2,00. Quantas notas recebeu cada pessoa ?

59) ( CPCAR 2001 ) Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou desse caixa a
importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a :

a) 16 b) 25 c) 24 d) 21

60) ( CEFETQ 1992 ) - O quociente de uma divisão é 5 e o resto 700. A diferença entre o dividendo e o divisor é 6 200. Calcule o
dividendo.

61) ( CEFETQ 1993 ) - Numa eleição com dois candidatos, votaram 205.000 pessoas. O candidato eleito obteve 20.000 votos a mais
do que o seu concorrente. Foram registrados 41.000 votos nulos. Calcule o número de votos do candidato vencedor, sabendo que
não houve votos em branco nem abstenções .

62) ( CEFETQ 1995 ) - Na sucessão das letras :ETFQRJETFQRJETFQRJ....., qual é a letra que ocupa a 1995ª posição ?

63) ( Colégio Naval ) - Um número é composto de três algarismos cuja soma é 18. O algarismos das unidades é o dobro do das
centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e das centenas. Qual o número

64) (Colégio Naval ) - Um aluno ao multiplicar um número por 60, esqueceu-se de colocar o zero a direita e obteve um resultado
inferior 291.006 ao que deveria ter encontrado. Calcular o número .

65) Imagine os números inteiros não negativos dispostos da seguinte forma, de acordo com a tabela abaixo :

0 3 6 9 12 15 (....)
1 4 7 10 13 16 (....)
2 5 8 11 14 17 (....)

Em que linha e coluna, respectivamente, se encontra o número 1645 ?

a) 3 e 548 b) 2 e 548 c) 2 e 549 d) 3 e 549

66) Maria é 7 anos mais velha do que Paulo, que tem 2 anos mais do que Pedro. Qual será a idade de Maria, quando a soma das
idades de Pedro e Paulo for igual a 36 anos ?

a) 26 anos b) 22 anos c) 21 anos d) 18 anos e) 16 anos


67) Comprei 7 frangos e 5 galinhas por R$ 106,00. Se tivesse comprado 9 frangos e 5 galinhas teria gasto R$ 122,00. Quanto
custou cada galinha ?

a) R$ 7,50 b) R$ 8,00 c) R$ 9,20 d) R$ 10,00 e) R$ 12,00


68) O peso total de 3 caixas cheias de bombons é 60 kg. As caixas vazias pesam: a primeira e a segunda 7 kg; a primeira e a
terceira 10 kg; a segunda e a terceira 11 kg. Calcule o peso dos bombons das três caixas ?

a) 66 kg b) 56 kg c) 46 kg d) 106 kg e) 86 kg


69) Você é o caixa de uma loja. No momento, você só tem notas de R$ 50,00 e R$ 100,00 . Uma pessoa está pagando uma conta
de R$ 82,00 com uma nota de R$ 100,00. Quanto você ainda deve pedir a ela para que o troco seja de R$ 50,00

70) Na adição abaixo, A , B e C são três algarismos. Descubra as parcelas e a soma.
B 3
+ 5 B
A C 2

71) Na adição abaixo, A e B são dois algarismos. Descubra as parcelas e a soma.
A B
+ 2 B
1 2 2

72) Nessa subtração, descubra os valores dos algarismos A, B e C.
4 A B
- C 4 9
C C 4

Respostas dos Exercícios Propostos

01 19 e 38 02 13 e 65 03 18 e 61
04 34 e 136 05 R$ 45,00 06 42 meninas e 14 meninos
07 60 08 24 e 408 09 22, 16 e 12
10 246 11 63 12 quádruplo
13 9 14 8 e 32 15 25
16 19 17 72 - 24 = 48 18 47
19 138 20 22 21 28 e 19
22 92 e 37 23 99 e 9 24 96 e 12
25 39 anos 26 8 anos 27 Há 9 anos atrás
28 Daqui a 6 anos 29 Daqui a 3 anos 30 Há 10 anos atrás
31 Daqui a 7 anos 32 13 e 18 anos 33 310 e 320
34 R$ 150,00 35 14 36 R$ 80,00 e R$ 130,00
37 12 questões 38 21 vezes 39 8 e 9
40 21 vezes 41 máx - 10 algs e mínimo de 9 algs 42 65
43 33 44 21 45 97
46 254 47 143 48 24
49 38 50 Pe - 117, Pa - 156 e Jo - 72 51 6 moças
52 Cx 1 - 147, Cx 2 - 183 e Cx 3 - 212 53 R$ 600,00 54 6 canetas
55 2 400 laranjas 56 10 alunos e 213 selos 57 4 h e 288 km
58 8 notas cada uma delas 59 d) 21 60 7 575
61 92.000 votos 62 Letra F 63 396
64 5 389 65 c) 2 e 549 66 26 anos
67 R$ 10,00 68 46 kg 69 R$ 32,00
70 A = 1 , B = 9 e C = 5 71 A = 9 e B = 6 72 A = 7 , B = 3 e C = 2

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Moda e Mediana

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
        



A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência central de um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para "resumir", em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.

Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.

A partir das medidas das alturas de um grupo de pessoas, é possível calcular uma altura que caracteriza o grupo todo.

Conhecendo as notas de um aluno durante um semestre da faculdade, é possível calcular uma nota que "resume" a sua situação no semestre.

Com base no número de gols de um time, em várias partidas de um campeonato, é possível chegar a um número de gols que descreva a sua situação no campeonato.

Observando os tempos de viagem de um determinado ônibus, em várias viagens, é possível se chegar a um valor que indica, em geral, o tempo dessa viagem.

Moda

Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.

Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.

Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.

As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Mediana

Mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.

Exemplos:

As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.

A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:

Página 3

Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.

Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:

- os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;
- se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;
- se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor.
*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

Polinômios



Dois ou mais termos são semelhantes quando têm a mesma parte literal

Exemplos

a) 5m e -7m são termos semelhantes
b) 2xy³ e 9y³x são termos semelhantes

Obs : não importa a ordem dos fatores literais Não são semelhantes os termos: 4x e 7x² observe que os expoentes de x são diferentes

EXERCICIOS

1) Quais pares de termos são sememlhantes?

a) 7a e 4a (X)
b) 2x² e -6x² (X)
c) 4y e 5y²
d) 8xy e –xy (X)
e) 5a e 4ab
f) 4ab e 5/8 ab (X)
g) 8xy e 5yx (X)
h) 4x²y e –xy
i) xy² e 2x²y
j) 3acb e abc (X)

REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES

Quando, numa mesma expressão, tivermos dois ou mais termos semelhantes podemos reduzi-los todos a um único termo, usando a propriedade distributiva

EXEMPLOS

1) 5x +3x – 2x = (5 + 3 – 2 )x = 6x
2) 7xy – xy + 5xy = (7 -1 + 5) xy = 11xy

Conclusão: somamos os coeficientes e conservamos a parte literal

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes

a) 8a + 2a = (R: 10a)
b) 7x – 5x = (R: 2x)
c) 2y² - 9y² = (R: -7y²)
d) 4a² - a² = (R: 3a²)
e) 4y – 6y = ( -2y)
f) -3m² + 8m² = (R: 5m²)
g) 6xy² - 8y²x = (R: -2y²x)
h) 5a – 5a = (R: 0)

2) Reduza os termos semelhantes:

a) 7x – 5x + 3x = (R: 5x)
b) 2y – y – 10y = (R: -9y)
c) 4a + a – 7a = (R: -2a)
d) x² + x² - 2x² = (R: 0 )
e) ab – ab + 5ab = (R: 5ab)
f) 4x³ - x³ + 2x³ = (R: 5x³)
g) 10x – 13x – x = (R: -4x)
h) 8x – 10x + 4x = (R: 2x)

3) Reduza os termos semelhantes:

a) 8x + 1x/2 = (R: 17x/2)
b) 3a - 2a/3 = (R: 7a/3)
c) 1x/2 + 1x/3 = (R: 5x/6)
d) 2x/3 - 1x/2 = (R: 1x/6)
e) 1y/2 – 2y/5 = (R: 1y/10)
f) 2x + 1x/2 – 3x/4 = (R: 7x/4)

Há casos em que numa expressão há termos diferentes e termos semelhantes entre si. Observe que a redução só pode ser feita com termos semelhantes.

Exemplo 1

7x + 8y – 2x – 5y
7x -2x + 8y -5y
5x + 3y

Exemplo 2:

4a³ + 5a² + 7a – 2a² + a³ - 9a + 6
4a³+ a³+ 5a²– 2a²+ 7a- 9ª + 6
5a³ + 3a² - 2a + 6

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes:

a) 6a + 3a – 7 = (R: 9a - 7)
b) 4a – 5 – 6a = (R: -2a - 5)
c) 5x² + 3x² - 4 = (R: 8x² - 4)
d) X – 8 + x = (R: 2x -8)
e) 4m – 6m -1 = (R: -2m -2)
f) 4a – 3 + 8 = (R: 4a + 5)
g) x² - 5x + 2x² = (R: 3x² - 5x)
h) 4a – 2m – a = (R: 3a - 2m)
i) Y + 1 – 3y = (R: -2y + 1)
j) X + 3xy + x = (R : 3x + 3xy)

2) Reduza os termos semelhantes

a) 7a – 2a + 4b – 2b = (R: 5a + 2b)
b) 5y² - 5x – 8y² + 6x = (R: -3y² + 1x)
c) 9x² + 4x- 3x² + 3x = (R: -6x² + 7x)
d) X + 7 + x – 10 – 1 = (R: 2x -4)
e) x³ - x² + 7x² + 10x³ + 4 = ( -11x³ + 6x² + 4)
f) 2x³ - 7x² + 4x – 2 + 8 – 3x² = ( R:
g) 4a²b – 3b² - 6b² - 2a²b – 1 = (R:

3) Reduza os termos semelhantes

a) 1/2x – 1/3y + x=
b) 4a- 1/2a + 5 - 1/3 =
c) 1/2a- 3a² + a + 3a = 9ª – 6a²
d) 4y – 3/5y + 1/2 + 1 = 34y + 15
e) 2m + 3 + m/2 – ½ = 10m +10


ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES

Vamos lembrar que:
1) Ao eliminar parênteses procedimentos pelo sinal positivo(+),não troque os sinais dos termos incluídos nos parênteses.

Exemplo

2x + (5x – 3)
2x + 5x – 3
7x – 3

2) Ao eliminar parênteses precedidos pelo sinal negativo ( - ), troque os sinais dos termos incluídos nos parênteses.

Exemplo

7x – (4x – 5)
7x – 4x + 5
3x + 5

Obs: Para a eliminação de colchetes e chaves são validas as regras acima.

Exemplos 1

5x + (3x -4) – (2x – 9)
5x +3x – 4 -2x + 9
5x + 3x -2x -4 + 9
6x + 5

Exemplo 2

8x – [-2x + (10 + 3x – 7)]
8x –[-2x +10+3x-7]
8x +2x -10-3x+7
8x + 2x – 3x -10 +7
7x -3

Exemplo 3

2x² + { 3x – [ 6x – ( 3x² + x)]}
2x² + { 3x – [ 6x – 3x² - x]}
2x² + { 3x – 6x + 3x² + x}
2x² + 3x – 6x + 3x² + x
2x² + 3x² + 3x -6x + x
5x² -2x

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:

a) 6x + (2x – 4) – 2 = (R: 8x – 6)
b) 7y -8 – (5y – 3) = (R: 2y – 5)
c) 4x – ( -3x + 9 – 2x) = (R: 9x – 9)
d) 3x – (-2x +5) – 8x + 9 = (R: -3x + 4)
e) 4x – 3 + (2x + 1 ) = (R: 6x – 2)
f) ( x + y ) – ( x + 2y) = (R: -y)
g) (3x – 2y) + ( 7x + y) = (R: 10x – y)
h) –(8x + 4) – ( 3x + 2) = (R: -11x – 6)

2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas

a) 5x + ( 3x – 2) – ( 10x – 8) = (R: -2x + 6)
b) 6x + (5x – 7) – (20 + 3x) = (R: 8x -27)
c) ( x + y + z ) + x – ( 3y + z) = (R: 2x – 2y)
d) (m + 2n ) – ( r - 2n ) – ( n + r) = (R: m + 3n – 2r)
e) –(6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – ( -2x + 3y) = (R: -6y – 6x)

3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébrica:

a) 6x² - [ 4x² + ( 3x – 5 ) + x = (R: 2x² - 4x + 5)
b) 3x + { 2y – [ 5x – ( y + x )]} = (R: -x + 3y)
c) -3x + [ x² - ( 4x² - x) + 5x] = (R: -3x² + 3x)
d) Xy – [2x + ( 3xy – 4x ) + 7x ] = (R: -2xy - 5x)
e) 8x – [( x + 2m) – ( 3x – 3m)] = (R: 10x – 5m)
f) X – ( b – c) + [ 2x + ( 3b + c) ]= (R: 3x + 2b + 2c )
g) –[x + ( 7 – x) – ( 5 + 2x) ]= (R: -2x -2)
h) {9x – [ 4x – ( x – y ) – 5y ] + y} = (R: 6x + 5y)
i) ( 3x + 2m) – [ (x – 2m) – ( 6x + 2m) ] = (R: 8x + 6m)
j) 7x³ - { 3x² -x – [ 2x – ( 5x³ - 6x²) – 4x ]} = (R: 2x³ + 3x² - x)
k) 2y – { 3y + [ 4y – ( y – 2x)+ 3x ] – 4x } + 2x = (R: 11y – 4x)
l) 8y + { 4y – [ 6x – y – ( 4x – 3y ) – y ] -2x } = (R: 6x + 4y)
m) 4x – { 3x + [ 4x – 3y – ( 6x – 5y ) – 3x ] – 6y }
n) 3x – { 3x – [ 3x – ( 3x –y ) – y ] –y } - y

4) Reduza os termos semelhantes:
a) -2n – (n – 8) + 1 = (R: -3n + 9)
b) 5 – ( 2x – 5) + x = (R: -x +10)
c) 3x + ( -4 – 6x) + 9 = (R: -3x +5)
d) 8y – 8 – ( -3y + 5) = (R: 11y – 13)
e) X – [ n + (x + 3) ] = (R: -n -3)
f) 5 + [x – ( 3 – x) ] = (R: 2x + 2)
g) x² - [ x – (5 - x²)] = (R: -x + 5)
h) 5x – y – [x – (x - y)] = (R: 5x – 2y)

5) Reduza os termos semelhantes:

a) 2x + ( 2x + y) – ( 3x – y) + 9x = (R: 10x + 2y)
b) 5x – { 5x – [ 5x – ( 5x – m ) – m ] –m } – m = (R: 0)
c) – { 7x – m – [ 4m – ( n – m – 3x) – 4x ] + n } = (R: -8x + 6m -2n)
d) 5xy – { - (2xy + 5x )+ [3y – (-xy +x + 3xy)]} = (R: 11xy + 6x - 3y)

Cinemática - Movimento Uniformemente Variado (MUV)

1. Conceito
Um carro movimentando-se pelas ruas de uma cidade, gotas de chuvas caindo, as pás de um ventilador, ao ser ligado ou desligado, são exemplos de corpos que se movimentam com velocidade escalar variável, os chamados movimentos variados.

Dentre os movimentos variados, daremos destaque, a partir deste módulo, aos movimentos uniformemente variados, movimentos nos quais a velocidade escalar do corpo aumenta ou diminui, em relação ao tempo, de maneira uniforme, ou seja, os corpos movimentam-se com aceleração escalar constante.

2. Aceleração Escalar constante
Um objeto encontra-se em movimento uniformemente variado (MUV) quando a sua velocidade escalar varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Nestas condições, podemos dizer que a aceleração escalar média coincide com o valor da aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la simplesmente de aceleração escalar (a).
MUV - Movimento Uniformemente Variado
3. Diagrama Horária da Aceleração Escalar
Como no movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante positiva ou negativa, podemos representá-la através do diagrama horário abaixo:
MUV - Movimento Uniformemente Variado

Propriedade:
A variação de velocidade (deltaVelocidade instantanea) de um MUV, num intervalo de tempo (deltat), é dada por:
MUV - Movimento Uniformemente Variado
Geometricamente, isto corresponde à área sob o gráfico a x t.
MUV - Movimento Uniformemente Variado MUV - Movimento Uniformemente Variado

4. Função Horária da Velocidade Escalar
Considere um móvel trafegando em movimento uniformemente variado, com aceleração escalar a.
MUV - Movimento Uniformemente Variado
Em destaque na figura acima, observamos que o móvel no instante t = 0 possui velocidade escalar inicial Velocidade Instantanea0.
Após um tempo t, ele atinge a velocidade escalar velocidade instantanea.
Lembrando que deltavelocidade instantaneaa · deltat, podemos deduzir a função horária de sua velocidade assim:
MUV - Movimento Uniformemente Variado
Observe que todo MUV terá este tipo de função, isto é trata-se de uma função matemática do 1º grau, onde Velocidade Instantanea0 a correspondem aos seus coeficientes linear e angular, respectivamente.
5. Diagrama Horário da Velocidade Escalar
Já que a função horária da velocidade de todo MUV é do primeiro grau, o gráfico velocidade x tempo terá a forma de uma reta inclinada, a partir da velocidade inicial Velocidade Instantanea0.
MUV - Movimento Uniformemente Variado
Observe que a declividade da reta tangente de teta representa o coeficiente angular da função, ou seja:
MUV - Movimento Uniformemente Variado
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Progressão Aritmética

1 - Introdução Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o c...